Soal UN Vektor Matematika Beserta Pembahasannya
1. Diberikan dua vektor A = 3i + 4j dan B = 2i – j. Tentukan hasil perkalian dalam vektor A dan B!
Penyelesaian:
A.B = (3 x 2) + (4 x -1) = 6 – 4 = 2
2. Hitunglah hasil penjumlahan dari vektor A = 5i + 3j dan vektor B = 2i – j!
Penyelesaian:
A + B = (5 + 2)i + (3 – 1)j = 7i + 2j
3. Tentukan besar dari dua vektor A = 4i + 3j dan B = 2i – 2j!
Penyelesaian:
|A| = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5
|B| = √(2^2 + (-2)^2) = √(4 + 4) = √8
4. Diberikan vektor A = 3i + 2j dan vektor B = 4i + j. Tentukan hasil pengurangan vektor A dengan vektor B!
Penyelesaian:
A – B = (3 – 4)i + (2 – 1)j = -i + j
5. Sebuah vektor C membuat sudut 30° dengan vektor D, dan besar vektor D adalah 5. Berapakah besar vektor C?
Penyelesaian:
cos(30°) = D/C
√3/2 = 5/C
C = 10/√3
6. Diketahui dua vektor A = 2i + 3j dan B = 4i – 5j. Tentukan hasil perkalian silang vektor A dan B!
Penyelesaian:
A x B = (2 x -5) – (3 x 4) = -10 – 12 = -22
7. Hitunglah proyeksi vektor A = 3i + 4j pada vektor B = 2i – j!
Penyelesaian:
Proyeksi A pada B = (A.B / |B|) x B
= ((3 x 2) + (4 x -1) / √(2^2 + (-1)^2)) (2i – j)
= (6 – 4 / √5) (2i – j)
= (2/√5) (2i – j)
= (4/√5)i – (2/√5)j
8. Tentukan vektor hasil dari penjumlahan dua vektor C = i + 3j dan D = 2i – 5j!
Penyelesaian:
C + D = (1 + 2)i + (3 – 5)j = 3i – 2j
9. Diberikan tiga vektor A = 2i + 3j, B = i – 2j, dan C = -3i + 4j. Hitunglah hasil (A + B) x C!
Penyelesaian:
(A + B) x C = ((2i + 3j) + (i – 2j)) x (-3i + 4j)
= -i + j x -3i + 4j
= (-1 x -3 – 1 x 4) – (3 x -3 + 1 x 4)
= 3 – 4 + 9 + 4
= 12
10. Sebuah vektor E membuat sudut 45° dengan sumbu x positif dan memiliki magnitudo 6. Tentukan komponen vektor E pada sumbu x dan y!
Penyelesaian:
Ek = Ecosθ = 6cos45° = 6 x √2 / 2 = 3√2
Ey = Esinθ = 6sin45° = 6 x √2 / 2 = 3√2
11. Vektor F = 2i + 5j dinyatakan sebagai hasil dari dua vektor berbeda G dan H. Jika G membentuk sudut 30° dengan F, tentukan besar vektor H!
Penyelesaian:
|G| = Fcos30° = (2 x √3)/2 = √3
Jadi, vektor H = F – G = F – √3
12. Dua vektor A = 3i – 4j dan B = -2i + 6j berada pada bidang xy. Tentukan hasil perkalian titik dari vektor A dan vektor B!
Penyelesaian:
A.B = (3 x -2) + (-4 x 6) = -6 – 24 = -30
13. Tentukanlah sudut antara vektor I = 3i + 4j dan J = 5i – 2j!
Penyelesaian:
cosθ = (I . J) / (|I| x |J|)
= (3 x 5) + (4 x -2) / (√(3^2 + 4^2) x √(5^2 + (-2)^2))
= 15 – 8 / (√25 x √29)
= 7 / (5 x √29)
14. Hitunglah vektor hasil dari pengurangan vektor P = 6i + 9j dengan vektor Q = 2i – j!
Penyelesaian:
P – Q = (6 – 2)i + (9 – (-1))j = 4i + 10j
15. Sebuah vektor R = 5i – 3j dibentuk oleh dua vektor L dan M. Vektor L membentuk sudut 60° terhadap sumbu x. Tentukan besar vektor M!
Penyelesaian:
|L| = Rcos60° = (5 x 1/2) = 5/2
M = R – L = R – 5/2
16. Dua vektor S = 3i – 4j dan T = 2i + j membentuk sudut 90°. Hitunglah hasil proyeksi vektor S pada vektor T!
Penyelesaian:
Proyeksi S pada T = (S.T / |T|) x T
= (3 x 2) + (-4 x 1) / √(2^2 + 1^2) (2i + j)
= (6 – 4 / √5) (2i + j)
= (2/√5) (2i + j)
= (4/√5)i + (2/√5)j
17. Vektor U = i + 2j dapat diurai menjadi dua vektor V dan W yang membentuk sudut 45°. Tentukan hasil penjumlahan dari vektor V dan vektor W!
Penyelesaian:
V = Ucos45° = (√2/2)i + (√2/2)j
W = Usin45° = (√2/2)i – (√2/2)j
V + W = (√2/2)i + (√2/2)j + (√2/2)i – (√2/2)j = √2i
18. Hitunglah hasil perkalian vektor X = 2i – j dengan vektor Y = i + 3j!
Penyelesaian:
X x Y = (2 x 1) + (-1 x 3) = 2 – 3 = -1
19. Sebuah vektor Z = 4i + 7j dapat dinyatakan sebagai hasil dari dua vektor A dan B yang tegak lurus satu sama lain. Jika vektor A membentuk sudut 30° dengan Z, tentukan besar vektor B!
Penyelesaian:
|A| = Zcos30° = (4 x √3) / 2 = 2√3
|B| = Zsin30° = (7 x √3) / 2 = 7√3
20. Dua vektor C = 3i – 4j dan D = 5i + 2j membentuk sudut 120°. Tentukan hasil proyeksi vektor C pada vektor D!
Penyelesaian:
Proyeksi C pada D = (C.D / |D|) x D
= (3 x 5) + (-4 x 2) / √(5^2 + 2^2) (5i + 2j)
= (15 – 8 / √29) (5i + 2j)
= (7/√29) (5i + 2j)
= (35/√29)i + (14/√29)j
Demikianlah 20 contoh soal UN vektor matematika beserta pembahasannya. Semoga membantu dalam memahami konsep vektor dan persamaan-persamaan yang terkait dengan materi tersebut. Jangan lupa untuk terus berlatih mengerjakan soal-soal agar semakin mahir dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan vektor dalam matematika. Terima kasih.
