Explorasi Soal Induksi Matematika: Contoh dan Penyelesaian
Pendidikan matematika merupakan salah satu bidang yang penting untuk dikuasai oleh setiap individu. Salah satu topik yang seringkali membingungkan dalam matematika adalah induksi matematika. Induksi matematika merupakan suatu teknik dalam matematika untuk membuktikan suatu pernyataan matematis untuk semua bilangan bulat positif. Dengan menggunakan teknik ini, kita dapat membuktikan suatu pernyataan matematis untuk semua bilangan bulat positif meskipun kita tidak dapat membuktikannya satu per satu.
Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang explorasi soal induksi matematika beserta contoh dan penyelesaiannya. Berikut adalah 20 contoh soal induksi matematika beserta jawabannya:
1. Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 = 1(1+1)/2, sehingga benar.
Asumsi bahwa 1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
2. Buktikan bahwa 3^n > n^2 untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
Jawaban:
Untuk n = 4, kita memiliki 81 > 16, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 3^k > k^2 untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 4.
Maka kita punya 3^(k+1) = 3*3^k > 3k^2 > (k+1)^2.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
3. Buktikan bahwa 1 + 2^1 + 2^2 + … + 2^n = 2^(n+1) – 1 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 + 2 = 3 = 2^2 – 1, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 1 + 2^1 + 2^2 + … + 2^k = 2^(k+1) – 1 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 1 + 2^1 + 2^2 + … + 2^k + 2^(k+1) = 2^(k+1) – 1 + 2^(k+1) = 2*2^(k+1) – 1 = 2^(k+2) – 1.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
4. Buktikan bahwa (1/1^2) + (1/2^2) + (1/3^2) + … + (1/n^2) < 2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 < 2, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa (1/1^2) + (1/2^2) + (1/3^2) + … + (1/k^2) < 2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya (1/1^2) + (1/2^2) + (1/3^2) + … + (1/k^2) + (1/(k+1)^2) < 2 + 1/(k+1)^2 < 2.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
5. Buktikan bahwa 2^n > n^3 untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 10.
Jawaban:
Untuk n = 10, kita memiliki 1024 > 1000, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 2^k > k^3 untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 10.
Maka kita punya 2^(k+1) = 2*2^k > 2k^3 > (k+1)^3.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 10.
6. Buktikan bahwa 7^n – 1 dapat dibagi oleh 6 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 7 – 1 = 6, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 7^k – 1 dapat dibagi oleh 6 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 7^(k+1) – 1 = 7*7^k – 1 = 6*7^k + 7^k – 1.
Karena 6*7^k adalah kelipatan dari 6, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
7. Buktikan bahwa 3^n + 2^n adalah bilangan ganjil untuk setiap bilangan ganjil positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 3 + 2 = 5, yang merupakan bilangan ganjil.
Asumsi bahwa 3^k + 2^k adalah bilangan ganjil untuk suatu bilangan ganjil positif k.
Maka kita punya 3^(k+2) + 2^(k+2) = 3*3^k + 2*2^k = 3(3^k) + 2(2^k) = 3(3^k) – (-2)(2^k).
Karena 3(3^k) dan -2(2^k) masing-masing adalah bilangan ganjil dan genap, maka jumlahnya merupakan bilangan ganjil.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan ganjil positif n.
8. Buktikan bahwa 9^n – 1 dapat dibagi oleh 8 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 9 – 1 = 8, yang dapat dibagi oleh 8.
Asumsi bahwa 9^k – 1 dapat dibagi oleh 8 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 9^(k+1) – 1 = 9*9^k – 1 = 8*9^k + 9^k – 1.
Karena 8*9^k adalah kelipatan dari 8, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
9. Buktikan bahwa n^2 < 2^n untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 5.
Jawaban:
Untuk n = 5, kita memiliki 25 < 32, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa k^2 < 2^k untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 5.
Maka kita punya (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 < 2^k + 2k + 1 < 2^k + 2(2^(k-1)) + 1 = 2^k + 2^k + 1 = 2*2^k + 1 = 2^(k+1) + 1.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 5.
10. Buktikan bahwa 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = (1 + 2 + 3 + … + n)^2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1^3 = 1 = (1)^2, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + k^3 = (1 + 2 + 3 + … + k)^2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + k^3 + (k+1)^3 = (1 + 2 + 3 + … + k)^2 + (k+1)^3 = (k(k+1)/2)^2 + (k+1)^3 = (k^2(k+1)^2)/4 + (k+1)^3 = ((k+1)^2(k^2 + 4(k+1)))/4 = ((k+1)^2(k^2 + 4k + 4))/4 = ((k+1)^2(k+2)^2)/4 = (1 + 2 + 3 + … + k + (k+1))^2.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
11. Buktikan bahwa (1/1) – (1/2) + (1/3) – … + (-1)^(n-1)(1/n) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/n) – 2/(n+1) untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 = 1 – 2/2 = 1, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa (1/1) – (1/2) + (1/3) – … + (-1)^(k-1)(1/k) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/k) – 2/(k+1) untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya (1/1) – (1/2) + (1/3) – … + (-1)^(k)(1/(k+1)) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/k) – 2/(k+1) + 1/(k+1) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/k) – 2/(k+1) + 1/(k+1) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/k) – 1/(k+1).
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
12. Buktikan bahwa 2^n ≥ n + 2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 2 ≥ 1 + 2 = 3, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 2^k ≥ k + 2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 2^(k+1) = 2*2^k ≥ 2k + 4 > k + 2 + 2 = k + 2.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
13. Buktikan bahwa 1^k + 2^k + 3^k + … + n^k ≥ (n/2)^(k+1) untuk setiap bilangan bulat positif n dan k.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 ≥ (1/2)^(k+1) = 1/2, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 1^k + 2^k + 3^k + … + k^k ≥ (k/2)^(k+1) untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 1^k + 2^k + 3^k + … + k^k + (k+1)^k ≥ (k/2)^(k+1) + (k+1)^k > (k/2)^(k+1) + (k/2)^(k+1) = 2(k/2)^(k+1) = ((k+1)/2)^(k+1).
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n dan k.
14. Buktikan bahwa n! < 2^n untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
Jawaban:
Untuk n = 4, kita memiliki 24 < 16, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa k! < 2^k untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 4.
Maka kita punya (k+1)! = (k+1)k! < 2k(k!) < 2k(2^k) = (2k+1)2^k < 2^(k+1).
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
15. Buktikan bahwa (3^n – 1) dapat dibagi oleh 2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 3 – 1 = 2, yang dapat dibagi oleh 2.
Asumsi bahwa 3^k – 1 dapat dibagi oleh 2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 3^(k+1) – 1 = 3*3^k – 1 = 2*3^k + 3^k – 1.
Karena 2*3^k adalah kelipatan dari 2, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
16. Buktikan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) – 1 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 + 2 = 3 = 2^2 – 1, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^k = 2^(k+1) – 1 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^k + 2^(k+1) = 2^(k+1) – 1 + 2^(k+1) = 2*2^(k+1) – 1 = 2^(k+2) – 1.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
17. Buktikan bahwa 2^n < n! untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
Jawaban:
Untuk n = 4, kita memiliki 16 < 24, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 2^k < k! untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 4.
Maka kita punya 2^(k+1) = 2*2^k < 2k! < (k+1)k! = (k+1)!
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
18. Buktikan bahwa n! > 2^(n-1) untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 2.
Jawaban:
Untuk n = 2, kita memiliki 2! > 2, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa k! > 2^(k-1) untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 2.
Maka kita punya (k+1)! = (k+1)k! > 2k! > 2*2^(k-1) = 2^k.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 2.
19. Buktikan bahwa 4^n – 1 dapat dibagi oleh 3 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 4 – 1 = 3, yang dapat dibagi oleh 3.
Asumsi bahwa 4^k – 1 dapat dibagi oleh 3 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 4^(k+1) – 1 = 4*4^k – 1 = 3*4^k + 4^k – 1.
Karena 3*4^k adalah kelipatan dari 3, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
20. Buktikan bahwa (n + 1)^2 – n^2 dapat dibagi oleh 2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 4 – 1 = 3, yang dapat dibagi oleh 2.
Asumsi bahwa (k+1)^2 – k^2 dapat dibagi oleh 2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya ((k+1) + k)((k+1) – k) = (k+1)(k+1 – k) = (k+1)^2 – k^2, yang dapat dibagi oleh 2.
Se
