2. Buktikan bahwa 3^n > n^2 untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
Jawaban:
Untuk n = 4, kita memiliki 81 > 16, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 3^k > k^2 untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 4.
Maka kita punya 3^(k+1) = 3*3^k > 3k^2 > (k+1)^2.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
3. Buktikan bahwa 1 + 2^1 + 2^2 + … + 2^n = 2^(n+1) – 1 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 + 2 = 3 = 2^2 – 1, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 1 + 2^1 + 2^2 + … + 2^k = 2^(k+1) – 1 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 1 + 2^1 + 2^2 + … + 2^k + 2^(k+1) = 2^(k+1) – 1 + 2^(k+1) = 2*2^(k+1) – 1 = 2^(k+2) – 1.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
4. Buktikan bahwa (1/1^2) + (1/2^2) + (1/3^2) + … + (1/n^2) < 2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 < 2, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa (1/1^2) + (1/2^2) + (1/3^2) + … + (1/k^2) < 2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya (1/1^2) + (1/2^2) + (1/3^2) + … + (1/k^2) + (1/(k+1)^2) < 2 + 1/(k+1)^2 < 2.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
