5. Buktikan bahwa 2^n > n^3 untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 10.
Jawaban:
Untuk n = 10, kita memiliki 1024 > 1000, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 2^k > k^3 untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 10.
Maka kita punya 2^(k+1) = 2*2^k > 2k^3 > (k+1)^3.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 10.
6. Buktikan bahwa 7^n – 1 dapat dibagi oleh 6 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 7 – 1 = 6, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 7^k – 1 dapat dibagi oleh 6 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 7^(k+1) – 1 = 7*7^k – 1 = 6*7^k + 7^k – 1.
Karena 6*7^k adalah kelipatan dari 6, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
7. Buktikan bahwa 3^n + 2^n adalah bilangan ganjil untuk setiap bilangan ganjil positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 3 + 2 = 5, yang merupakan bilangan ganjil.
Asumsi bahwa 3^k + 2^k adalah bilangan ganjil untuk suatu bilangan ganjil positif k.
Maka kita punya 3^(k+2) + 2^(k+2) = 3*3^k + 2*2^k = 3(3^k) + 2(2^k) = 3(3^k) – (-2)(2^k).
Karena 3(3^k) dan -2(2^k) masing-masing adalah bilangan ganjil dan genap, maka jumlahnya merupakan bilangan ganjil.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan ganjil positif n.
