8. Buktikan bahwa 9^n – 1 dapat dibagi oleh 8 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 9 – 1 = 8, yang dapat dibagi oleh 8.
Asumsi bahwa 9^k – 1 dapat dibagi oleh 8 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 9^(k+1) – 1 = 9*9^k – 1 = 8*9^k + 9^k – 1.
Karena 8*9^k adalah kelipatan dari 8, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
9. Buktikan bahwa n^2 < 2^n untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 5.
Jawaban:
Untuk n = 5, kita memiliki 25 < 32, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa k^2 < 2^k untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 5.
Maka kita punya (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 < 2^k + 2k + 1 < 2^k + 2(2^(k-1)) + 1 = 2^k + 2^k + 1 = 2*2^k + 1 = 2^(k+1) + 1.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 5.
10. Buktikan bahwa 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = (1 + 2 + 3 + … + n)^2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1^3 = 1 = (1)^2, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + k^3 = (1 + 2 + 3 + … + k)^2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + k^3 + (k+1)^3 = (1 + 2 + 3 + … + k)^2 + (k+1)^3 = (k(k+1)/2)^2 + (k+1)^3 = (k^2(k+1)^2)/4 + (k+1)^3 = ((k+1)^2(k^2 + 4(k+1)))/4 = ((k+1)^2(k^2 + 4k + 4))/4 = ((k+1)^2(k+2)^2)/4 = (1 + 2 + 3 + … + k + (k+1))^2.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
