11. Buktikan bahwa (1/1) – (1/2) + (1/3) – … + (-1)^(n-1)(1/n) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/n) – 2/(n+1) untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 = 1 – 2/2 = 1, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa (1/1) – (1/2) + (1/3) – … + (-1)^(k-1)(1/k) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/k) – 2/(k+1) untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya (1/1) – (1/2) + (1/3) – … + (-1)^(k)(1/(k+1)) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/k) – 2/(k+1) + 1/(k+1) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/k) – 2/(k+1) + 1/(k+1) = (1/1) + (1/2) + (1/3) + … + (1/k) – 1/(k+1).
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
12. Buktikan bahwa 2^n ≥ n + 2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 2 ≥ 1 + 2 = 3, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 2^k ≥ k + 2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 2^(k+1) = 2*2^k ≥ 2k + 4 > k + 2 + 2 = k + 2.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
13. Buktikan bahwa 1^k + 2^k + 3^k + … + n^k ≥ (n/2)^(k+1) untuk setiap bilangan bulat positif n dan k.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 ≥ (1/2)^(k+1) = 1/2, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 1^k + 2^k + 3^k + … + k^k ≥ (k/2)^(k+1) untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 1^k + 2^k + 3^k + … + k^k + (k+1)^k ≥ (k/2)^(k+1) + (k+1)^k > (k/2)^(k+1) + (k/2)^(k+1) = 2(k/2)^(k+1) = ((k+1)/2)^(k+1).
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n dan k.
