14. Buktikan bahwa n! < 2^n untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
Jawaban:
Untuk n = 4, kita memiliki 24 < 16, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa k! < 2^k untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 4.
Maka kita punya (k+1)! = (k+1)k! < 2k(k!) < 2k(2^k) = (2k+1)2^k < 2^(k+1).
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
15. Buktikan bahwa (3^n – 1) dapat dibagi oleh 2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 3 – 1 = 2, yang dapat dibagi oleh 2.
Asumsi bahwa 3^k – 1 dapat dibagi oleh 2 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 3^(k+1) – 1 = 3*3^k – 1 = 2*3^k + 3^k – 1.
Karena 2*3^k adalah kelipatan dari 2, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
16. Buktikan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) – 1 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 1 + 2 = 3 = 2^2 – 1, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^k = 2^(k+1) – 1 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^k + 2^(k+1) = 2^(k+1) – 1 + 2^(k+1) = 2*2^(k+1) – 1 = 2^(k+2) – 1.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
