17. Buktikan bahwa 2^n < n! untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
Jawaban:
Untuk n = 4, kita memiliki 16 < 24, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa 2^k < k! untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 4.
Maka kita punya 2^(k+1) = 2*2^k < 2k! < (k+1)k! = (k+1)!
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 4.
18. Buktikan bahwa n! > 2^(n-1) untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 2.
Jawaban:
Untuk n = 2, kita memiliki 2! > 2, sehingga pernyataan tersebut benar.
Asumsi bahwa k! > 2^(k-1) untuk suatu bilangan bulat positif k ≥ 2.
Maka kita punya (k+1)! = (k+1)k! > 2k! > 2*2^(k-1) = 2^k.
Sehingga, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 2.
19. Buktikan bahwa 4^n – 1 dapat dibagi oleh 3 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Jawaban:
Untuk n = 1, kita memiliki 4 – 1 = 3, yang dapat dibagi oleh 3.
Asumsi bahwa 4^k – 1 dapat dibagi oleh 3 untuk suatu bilangan bulat positif k.
Maka kita punya 4^(k+1) – 1 = 4*4^k – 1 = 3*4^k + 4^k – 1.
Karena 3*4^k adalah kelipatan dari 3, maka pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
