Contoh Soal:
1. Buktikan bahwa \(1+2+3+…+n = \frac{n(n+1)}{2}\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\).
2. Buktikan bahwa \(2^n > n^2\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n \geq 5\).
3. Buktikan bahwa \(3^n < n!\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n \geq 7\).
4. Buktikan bahwa \(1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\).
5. Buktikan bahwa \(2+4+6+…+2n = 2n(n+1)\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\).
6. Buktikan bahwa \(1^2 + 3^2 + 5^2 + … + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\).
7. Buktikan bahwa \(1+2+4+8+…+2^n = 2^{n+1}-1\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\).
8. Buktikan bahwa \((1+x)(1+x^2)(1+x^4)…(1+x^{2^n}) = 1-x^{2^{n+1}}\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\) dan untuk setiap bilangan real \(x\).
9. Buktikan bahwa \(1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\).
10. Buktikan bahwa \(2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^n = 2^{n+1}-1\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\).
Jawaban:
1. Untuk \(n = 1\):
\(1 = \frac{1(1+1)}{2}\)
\(1 = \frac{2}{2}\)
\(1 = 1\)
Untuk langkah induksi, anggap bahwa \(1+2+3+…+k = \frac{k(k+1)}{2}\) untuk suatu bilangan bulat positif \(k\). Buktikan bahwa \(1+2+3+…+k+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\):
