Konsep persamaan kuadrat merupakan salah satu materi yang penting dalam matematika, terutama dalam aljabar. Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang memiliki suku pangkat dua tertinggi. Persamaan kuadrat umumnya ditulis dalam bentuk ax^2 + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta tertentu dan x adalah variabel.
Dalam memahami konsep persamaan kuadrat, terdapat beberapa teori dasar yang perlu dipahami. Pertama, diskriminan (D) merupakan penentu sifat akar-akar persamaan kuadrat. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang sama. Sedangkan jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.
Selain itu, terdapat pula rumus-rumus penting dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Rumus utama yang sering digunakan adalah rumus kuadrat yaitu x = (-b ± √D) / 2a. Selain itu, terdapat pula rumus faktorisasi, rumus lengkap kuadrat, dan lain sebagainya.
Berikut ini 20 contoh soal persamaan kuadrat beserta jawabannya:
1. Tentukanlah diskriminan dari persamaan kuadrat 2x^2 + 5x – 3 = 0!
Jawab: D = b^2 – 4ac = 5^2 – 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49
2. Jika D = 0, tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 – 6x + 9 = 0!
Jawab: Akar-akarnya adalah x = 3 dan x = 3
3. Selesaikanlah persamaan kuadrat x^2 + 4x + 4 = 0!
Jawab: D = 4^2 – 4(1)(4) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x = -2 dan x = -2
4. Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat 3x^2 – 12x + 9 = 0!
Jawab: Faktorisasi dari persamaan tersebut adalah (3x – 3)^2 = 0, sehingga akar-akarnya adalah x = 1
5. Jika D < 0, berapakah akar persamaan kuadrat x^2 + 2x + 5 = 0!
Jawab: Karena D < 0, maka persamaan tidak memiliki akar real.
6. Selesaikanlah persamaan kuadrat x^2 – 9 = 0!
Jawab: D = 9^2 – 4(1)(-9) = 81 + 36 = 117, sehingga akar-akarnya adalah x = -3√3 dan x = 3√3
7. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat 4x^2 – 32 = 0!
Jawab: Faktorisasi dari persamaan tersebut adalah 4(x^2 – 8) = 0, sehingga x = ±2√2
8. Jika akar-akar persamaan kuadrat x^2 – 5x + k = 0 berbeda, tentukanlah nilai k agar persamaan tersebut memiliki akar x = 3 dan x = 2!
Jawab: D = 5^2 – 4(1)(k) > 0, sehingga k < 6. Oleh karena itu, k harus memenuhi -∞ < k < 6.
9. Berapakah sumbu simetri dari persamaan kuadrat x^2 + 6x + 9 = 0!
Jawab: Sumbu simetri adalah x = -b/2a = -6/2 = -3
10. Jika akar persamaan kuadrat x^2 + px + q = 0 adalah x = 2 dan x = 3, tentukanlah nilai dari p dan q!
Jawab: Karena x = 2 dan x = 3 adalah akar persamaan, maka (x – 2) dan (x – 3) adalah faktor dari persamaan tersebut. Dengan demikian, p = -5 dan q = 6.
11. Selesaikanlah persamaan kuadrat x^2 – 4x – 12 = 0!
Jawab: D = 4^2 – 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64, sehingga akar-akarnya adalah x = 6 dan x = -2
12. Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x^2 + x – 3 = 0!
Jawab: D = 1^2 – 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25, sehingga akar-akarnya adalah x = 1 dan x = -1.5
13. Jika D = 0, tentukanlah akar dari persamaan kuadrat x^2 – 7x + 12 = 0!
Jawab: Akar-akarnya adalah x = 3 dan x = 4
14. Selesaikanlah persamaan kuadrat x^2 + 7x + 10 = 0!
Jawab: D = 7^2 – 4(1)(10) = 49 – 40 = 9, sehingga akar-akarnya adalah x = -2 dan x = -5
15. Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat 2x^2 – 5x – 3 = 0!
Jawab: Faktorisasi dari persamaan tersebut adalah (2x + 1)(x – 3) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x = 1.5 dan x = -0.5
16. Jika D < 0, berapakah akar persamaan kuadrat x^2 + 3x + 7 = 0!
Jawab: Karena D < 0, maka persamaan tidak memiliki akar real.
17. Selesaikanlah persamaan kuadrat x^2 – 8 = 0!
Jawab: D = 8^2 – 4(1)(-8) = 64 + 32 = 96, sehingga akar-akarnya adalah x = 4√6 dan x = -4√6
18. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat x^2 – 10 = 0!
Jawab: Faktorisasi dari persamaan tersebut adalah (x – √10)(x + √10) = 0, sehingga x = ±√10
19. Jika akar-akar persamaan kuadrat x^2 – 6x + 9 = 0 berbeda, tentukanlah nilai akar-akar tersebut!
Jawab: Akar-akarnya adalah x = 3
20. Berapakah sumbu simetri dari persamaan kuadrat x^2 + 5x + 6 = 0!
Jawab: Sumbu simetri adalah x = -b/2a = -5/2 = -2.5
Dengan memahami konsep persamaan kuadrat beserta contoh soal di atas, diharapkan pembaca dapat lebih memahami teori dasar persamaan kuadrat dan bisa mengaplikasikannya dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika yang berkaitan. Semoga artikel ini bermanfaat dalam meningkatkan pemahaman dan kemampuan matematika Anda. Terima kasih.
