Belajar Induksi Matematika: Contoh Soal dan Pembahasannya
Induksi matematika merupakan salah satu metode dalam matematika yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan matematika untuk semua bilangan bulat positif. Metode ini biasanya digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika yang terjadi pada deret atau barisan bilangan bulat. Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal dan pembahasannya mengenai induksi matematika.
Contoh Soal dan Pembahasan:
1. Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Pembahasan:
Langkah 1: Verifikasi basis induksi
Jika n = 1, maka sisi kiri = 1, dan sisi kanan = 1(1+1)/2 = 1.
Jadi, pernyataan benar untuk n = 1.
Langkah 2: Asumsi induksi
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2.
Langkah 3: Langkah induksi
Untuk n = k+1,
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)
= k(k+1) + 2(k+1)
= (k+1)(k+2)/2
= (k+1)((k+1)+1)/2.
Jadi, pernyataan benar untuk n = k+1.
Dengan demikian, pernyataan 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
2. Buktikan bahwa 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 untuk setiap bilangan bulat positif n.
Pembahasan:
Langkah 1: Verifikasi basis induksi
Jika n = 1, maka sisi kiri = 1^2 = 1, dan sisi kanan = 1(1+1)(2*1+1)/6 = 1.
Jadi, pernyataan benar untuk n = 1.
Langkah 2: Asumsi induksi
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6.
Langkah 3: Langkah induksi
Untuk n = k+1,
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
= k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2
= (k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)/6.
Jadi, pernyataan benar untuk n = k+1.
Dengan demikian, pernyataan 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
3. Buktikan bahwa 2^n > n^2 untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 5.
Pembahasan:
Langkah 1: Verifikasi basis induksi
Jika n = 5, maka 2^5 = 32 > 25 = 5^2.
Jadi, pernyataan benar untuk n = 5.
Langkah 2: Asumsi induksi
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 2^k > k^2 untuk k ≥ 5.
Langkah 3: Langkah induksi
Untuk n = k+1,
2^(k+1) = 2*2^k > 2k^2.
Kita ingin menunjukkan bahwa 2k^2 > (k+1)^2. Dengan menyelesaikan ketidaksetaraan tersebut, kita mendapatkan k > 4.
Jadi, pernyataan benar untuk n = k+1.
Dengan demikian, pernyataan 2^n > n^2 benar untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 5.
Dari beberapa contoh soal dan pembahasannya di atas, dapat disimpulkan bahwa induksi matematika adalah metode yang powerful dalam membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematika untuk semua bilangan bulat positif. Dengan memahami langkah-langkah dalam induksi matematika, kita dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai permasalahan matematika yang melibatkan barisan atau deret bilangan bulat. Semoga artikel ini dapat membantu pembaca memahami lebih dalam mengenai induksi matematika. Semangat belajar!
